今回の「かずの不思議」は、九九の表の中に思議なグラフがひそんでいること。そして、そのグラフは九九の性質をみごとに反映していることを発見することが目的です。
参加者は二人（５年生と６年生）でしたが、しっかりと集中して取組み、90分の予定時間がオーバしても夢中で作業を楽しんでいました。
まず、「奇妙な九九の表」つくりに取り組みました。それは１×１～９×９までの結果を記した普通の九九ではなく、「九九の結果を10で割ったその余り」を記した九九の表です。
＜10の位を無視した九九の表＞
この表を書いている途中で、「一々わり算をしなくても、九九の１の位だけ書けばいいんだ！」と、声が上がりました（注）。一桁の数を10で割ったあまりはその数自身であることに、子どもたちは最初戸惑っていましたが、上の掛け声で、「奇妙な九九の表」つくりに自信がもてたようでした。
（注）「九九の結果を10でわった余り」は、数学的には「10を法とする剰余類の計算」なので、確かにその通り。私としては、安易にその事実を子どもたちに知らせるのではなく、このこと自体を自分たちで発見してもらおうと思っていました。
次に、予め準備してきた「十角形盤」（正十角形の頂点に釘を打ち、その傍に０から９までの数字を書いた円盤）を取り出して子どもに渡し、次の作業に取り組んでもらいました。
①毛糸のひもを０番の釘に結ぶ
②そのひもを「奇妙な九九の表」をもとに、１の段から９の段まで釘にかけていく
③最後にひもを０の釘に戻して、完成したグラフを手もとの用紙に写し取る。その際に、ひもの進む向きも矢印で記入する
完成した全部のグラフを見ながら、気付いたことを言ってもらいました。
（１）釘から釘へひもの動きは、１の段は一つずつ、２の段は二つずつ、３の段は三つずつ進み、最後の９の段までこの調子。これは九九の増え方がそうなっているから！
（２）グラフは多角形か多角星で、すべて左右対象な図になる。
１の段…正十角形、２の段…正五角形、３の段…正十多角星、４の段…正五多角星
６の段…正五多角星、７の段…正十多角星、８の段…正五角形、９の段…正十角形
（３）１と９の段、２と８の段、３と７の段、４と６の段のグラフは全く同じグラフになる。
＜毛糸で作った九九グラフ…１の段から６の段＞
アミ 「(３)で確認した『全く同じ』は、もっと詳しく見ても果たしてそうかな？」
子ども「形は同じだけど、ひもの動きは全く逆向きだよ」
アミ 「そうだ、よく気付いたね。ひもの動きが逆向きになっていることと、すべてのグラフが左右対称になっていることは、中・高等学校で『負の数』や『剰余類』という数学の考え方を学べば説明できるようになる。いまから楽しみにしておくといいよ」
子ども「楽しみではなく、苦しみになるかもしれない！！」
アミ 「さっきの(２)のまとめには、５の段が入ってないけど、これは仲間外れにするしかないのかなあ？」
子ども「５の段は、０から５、５から０ を繰り返すので、０と５を結ぶ線分になっているだけ。これは本当はペチャンコな多角形だ！」
アミ 「そのとおり、だから正二角形とでも考えれば、仲間外れにしなくてもいいんだね」
こうして、子どもたちは５つの性質を発見しました。
「十角形盤」と、ひもをかけている途中のグラフ、そして子どもたちが仕上げたまとめの図を写真でご覧ください。グラフが二重になっているものは、円盤を二回転したことを表しています。
＜毛糸の糸で作った九九グラフ…3の段（左）と4の段（右）＞
また、子どもたちが相談して「０の段は、ひもが進まずに０の釘をクルクル９回転している」と理解して、０の釘にはわざと〇を重ねて描きました。
＜手書きのグラフ…０の段＞
その後、自発的にすべてのグラフを色違いの毛糸で重ねて釘にかけていき、子どもたちは「きれいだね」と顔を見合わせていました。（M.M）
（追記）下図はパソコンで描いた九九グラフの例です。このようにふつうの多角形（２の段）だけでなく、星型（４の段）や多角星(たかくせい)（３の段）もあらわれます。
